Hatványok, gyökök, logaritmusok (a valós számok körében)

Hatványok azonosságai tetszőleges kitevőre

i. Azonos alapú hatványok

$a^n \cdot a^k = a^{n+k}$

$a^n : a^k = a^{n-k}$

$(a^n)^k = a^{nk}$

$\sqrt[k]{(a^n)} = a^{\frac{n}{k}}$

ii. Azonos kitevőjű hatványok

$a^n \cdot b^n = (ab)^n$

$a^n : b^n = (a:b)^n$

$(a-b)^n = (a-b)\cdot(a^{n-1}+a^{n-2} \cdot b+a^{n-3} \cdot b^{2}+...+a \cdot b^{n-2}+b^{n-1} )$

$a^{2k+1}+b^{2k+1} = (a+b)\cdot(a^{2k} - a^{2k-1} \cdot b + a^{2k+2} \cdot b^{2} -+ ... + b^{2k} )$

$a^{2k}-b^{2k} = (a+b)\cdot(a^{2k-1} - a^{2k-2} \cdot b + a^{2k+3} \cdot b^{2} -+ ... + b^{2k-1} )$

iii. Binomiális tétel, kéttagú hatványai (n pozitív egész)

$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1} \cdot b + \binom{n}{2}a^{n-2} \cdot b^2 + ... + \binom{n}{n-1}a \cdot b^{n-1} + \binom{n}{n}b^n$

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

iv. Binomiális együtthatók (táblázatuk)

$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

$\binom{n}{0} = 1$

$\binom{n}{n} = 1$

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$

A gyökvonás és azonosságai

i. Azonos alapú gyökök

$\sqrt[n]a \cdot \sqrt[k]a = \sqrt[nk]{a^{n+k}}$

$\sqrt[n]a : \sqrt[k]a = \sqrt[nk]{a^{n-k}}$

$(\sqrt[k]a)^n = \sqrt[k]{a^n} = a^{\frac{n}{k}}$

$\sqrt[k]{\sqrt[n]a} = \sqrt[n]{\sqrt[k]a} = \sqrt[nk]a$

ii. Azonos kitevőjű gyökök

$\sqrt[n]a \cdot \sqrt[n]b = \sqrt[n]{ab}$

$\sqrt[n]a : \sqrt[n]b = \sqrt[n]{a:b}$

Logaritmusok azonosságai

i. Azonos alapú logaritmusok

$\log_a(x \cdot y) = \log_ax+\log_ay$

$\log_a(x : y) = \log_ax-\log_ay$

$\log_a(x^n) = n \cdot \log_ax$

$\log_a(\sqrt[n]x) = \frac{1}{n} \cdot \log_ax$

$\log_a(a) = 1$

$\log_a(1) = 0$

ii. Különböző alapú logaritmusok

$\log_ab \cdot \log_ba = 1$

$\log_bx = \frac{\log_ax}{\log_ab}$

Függvénytáblázatok: Hatványok, gyökök, logaritmusok (a valós számok körében). © 2009 Minden jog fenntartva. Készítette: Xyr Bt. (Mon Aug 9 23:18:42 2010)